[SAS 활용 노하우] 직교다항식 대비
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일원배치법에서 인자는 질적(qualitative)일 수도 있고 양적(quantitative)일 수도 있습니다.
인자가 시간, 온도, 압력, 습도 등과 같이 양적일 때는 인자의 다른 수치적도로 구분할 수 있습니다.
이렇게 인자가 양적일 때는 반응곡선을 구하고, 이 곡선에서 인자수준들 사이의 값에 대한 반응값을 추정해볼 수 있습니다. 반응곡선은 일반적으로 회귀분석으로 구합니다.
또한, 이러한 경우에 일차, 이차, 삼차 등의 경향을 분리해 보는데 종종 관심을 가지게 됩니다.
예를 들면, 60도, 70도, 80도로 증가함에 따라서 반응값이 일정한 비율의 선형적 관계로 변화하는지 아니면 이차곡선의 형태로 변화하는지 알아보고자 하는 경우입니다. 이와 같이 반응값의 변화를 일차, 이차, 삼차 등으로 분리하여 보고자 할 때 처리수준이 등간격인 경우에 사용할 수 있는 직교다항식대비(orthogonal polynomial contrast)의 계수표가 있으며, 아래의 표에서 참조할 수 있습니다.
인자 수준수가 a개 일때, a-1 차까지 적합이 가능합니다.
각 대비는 서로 직교하며 각각 자유도 1을 갖습니다. 이것을 적합시킨 후에는 각 대비는 다항회귀식의 기울기를 해석하는 것처럼 해석하면 됩니다. 대비로 인한 변동이 유의하면 그 대비의 경향이나 효과가 유의하다고 말합니다. 예를 들어 일차대비로인한 변동이 유의하면 인차경향(linear trend)이 유의하다 또는 일차효과(linear effect)가 유의하다고 말합니다.
이 직교다항식대비는 서로 직교하므로 반복실험수가 같은 경우는 a-1개의 대비 제곱합의 합은 처리제곱합이 됩니다. 따라서 SAS의 type1 SS와 type3 SS는 동일합니다.
문제1)
비료에 포함된 질산칼슘의 농도가 감자 수확량에 미치는 연구하는 문제입니다.
먼저 데이터의 산점도를 그려보고 직교다항식대비로 분석하고자 합니다.
options number nodate ls=76 ps=80;
data yield;
input conc yield @@;
datalines;
0 105 0 115 0 91 0 141
5 135 5 131 5 145 5 175
10 147 10 143 10 153 10 175
15 148 15 161 15 161 15 164
20 132 20 149 20 155 20 164
;
run;
goptions hsize=20cm vsize=16cm;
symbol h= 0.5 v=dot;
proc gplot data = yield;
plot yield*conc / haxis=2 to 22 by 2
vaxis=40 to 200 by 10;
run;
proc glm;
class conc;
model yield = conc;
contrast 'linear' conc -2 -1 0 1 2;
contrast 'quadratic' conc 2 -1 -2 -1 2;
contrast 'cubic' conc -1 2 0 -2 1;
contrast 'quartic' conc 1 -4 6 -4 1;
run;
결과는 아래와 같습니다.
산점도를 육안으로 파악하면 어느 정도의 일차경항(linear trend)과 이차 경항(quadratic trend)이 있는 것으로 보입니다.
출력의 직교다항식대비 결과를 정리하면 위와 같습니다. 유의수준 0.05에서 일차효과와 이차효과가 유의합니다.
처리수준 간격이 일정하지 않은 경우의 직교다학식대비도 가능하나 유일하지 않고 무한이 많이 존재하며 준비된 표는 없습니다. 그러나 sas의 PROC IML의 함수 ORPOL을 이용하여 구할 수 있습니다. 처리수준 간격이 일정한 경우와 일정하지 않은 경우의 예를 각각 보면 다음과 같습니다.
문제2) 4개 처리수준의 간격이 일정한 경우.
예를 들면, 어떤 음식 첨가물의 비율이 1,2,3,4%인 경우의 직교다항식 대비는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
proc iml;
x = {1 2 3 4}'
xp = orpol(x,3);
print xp;
quit
문제3) 4개 처리 수준의 간격이 일정하지 않은 경우
예를 들면, 어떤 음식 첨가물의 비율이 0, 0.25, 0.5 1%인 경우의 직교다항식대비는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
proc iml;
x = {0 0.25 0.5 1}'
xp = orpol(x,3)l
print xp;
quit;