[SAS 활용 노하우] Linear Mixed Model 1

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Linear Mixed Model (LMM)은 1) 데이터가 군집(cluster)로 모일 수 있는 경우, 혹은 2) 한 명의 실험 대상자로부터 반복하여 실험 결과를 얻는 경우에 사용할 수 있는 선형 모형입니다.

일반적으로 알고 있는 Linear Model 은 Fixed Effect Model 입니다.

Fixed Effect Model 에서 β 는 Fixed 입니다.

Linear Mixed Model은 고정효과(Fixed Effect)와 랜덤(임의) 효과(Random Effect)로 이루어진 모형입니다. 반복측정자료의 특성인 개체 내에서 상관을 고려하여 분석을 할 수 있는 분석법입니다.

β: Fixed Effect

X: Fixed Effects design Matrix

Z: Random Design Matrix

γ: Random Effect

또한, LMM은 개인이 평균(fixed) 결과로부터 랜덤으로 편차가 있음을 가정합니다.

결과변수는 연속형이고, residual이 정규 분포를 따르나 특정한분산값을 갖거나 독립적이지 않을 때 활용하는 통계적인 방법론입니다.

고정효과란? (Fixed Effect)

• 몸무게, 테스트의 기저선, 사회경제적 상태 등 연속형 값을 갖는 공변량 도는 성별이나 처치집단 같은 범주형 factor 와 관련됨
• facor의 레벨을 표본 공간에서 뽑아낸 표본이라고 할 때 특정한 레벨은 관심의 영역이 아닐 수 있습니다. ( ex: 전체 학생 중에 표집한 특정 학급이나 학생은 관심의 주 대상이 아님)

랜덤표과란?(Random Effect)

• LMM에서 constant parameter로 표현됩니다.
• 일반적으로 random effect 는 관찰되지 않은 랜덤 변수로 일반적으로 정규 분포를 따른다고 가정합니다.

SAS

공분산 모수를 추정한 후 일반화 최소 자승법을 사용하여 고정 효과 모수와 표준 오차를 추정할 수 있습니다. PROC MIXED는 다음 구문에서 볼 수 있듯이 지금까지 본 절차와 매우 유사합니다.

PROC MIXED DATA=data-table-name;
  CLASS variables;
  MODEL dependent-variable= fixed-effects/ solution;
  
  RANDOM random-effects/ <options>;
  
  ESTIMATE 'label' fixed-effect-values| random-effect-values / <options>;
  LSMEANS fixed-effects/ options;
RUN;

PROC MIXED 는 RANDOM 문을 모델에 내장하고 있습니다.

모든 랜덤 효과를 RANDOM 문에 명시할 것입니다. MODEL 문에서는 종속 변수를 고정 효과와 동일하게 설정합니다. 모델에서 고정효과는 고정 효과만 지정하고 랜덤 효과에는 랜덤 효과만 지정합니다.

EX1) PROC SGPLOT

proc sgplot data=sp4r.grass;
vline variety / group=method stat=mean response=yield;
run;

PROC MIXED를 사용한 grass data를 살펴보겠습니다.

grass data는 3가지 씨앗 성장 방법이 씨앗에 적용된다.

3가지 씨앗은 다섯 가지 종류의 잔디에서 추출한 것입니다. 6개의 화분에 각각의 방법에서 나온 씨앗을 품종별로 심습니다.

5가지 품종이 더 넓은 모집단에서 무작위로 선택되었다고 가정합니다.

품종에 따라서 품종은 random effect 가 될 것이고 방법은 fixed effect가 될 것입니다.

이러한 특정 방법에만 관심이 있으며 우리는 모델에서 이를 비교하고 싶습니다.

양방향 혼합 모델을 할 것입니다. 아래 방정식에서는 전체 평균인 mu를 사용합니다. a-i(alpha-i) method effect이고, b-j는 variety effect이며, 내부 작용(inner action)인 알파-b도 랜덤할 것이다. b는 랜덤 효과입니다.

품종 간에는 약간의 변동성이 있는 것으로 보입니다.

다음 항목의 수익률 방법 A는 다섯 가지 변종 모두에 대해 가장 큽니다.

이제 PROC MIXED를 사용하여 양방향 혼합 모델을 생성하고 의 Method=REML 옵션을 사용합니다.

랜덤 효과만 표시됩니다.

RANDOM 문에는 MODEL 문이 없습니다.

그러나 모든 분류 변수(고정 및 랜덤) 효과는 CLASS 문에 나열됩니다. LSMEANS 문을 사용하여 다음과 같은 최소 제곱 평균을 계산합니다.

방법 및 PDIFF 옵션을 사용하여 방법의 차이를 평가합니다. 마지막으로, 추정치 문을 사용하여 방법 A와 방법 B 및 C를 비교합니다.

EX2) PROC MIXED

proc mixed data=sp4r.grass method=REML;
  class method variety;
  model yield = method / solution ddfm=kr2;
  random variety method*variety;
  lsmeans method / pdiff;
  estimate 'A vs. B and C' method 1 -.5 -.5;
run;

EX3) PROC GLIMMIX

일반화 선형 혼합 모델을 수행하려는 경우, 즉 가우스가 아닌 응답은 GLIMMIX 절차를 사용합니다. 모든 것이 다른 PROC와 매우 유사합니다.

MODEL 문에서 DIST= 옵션은 확률 분포를 지정하고 LINK= 옵션은 다음 구문과 같이 링크를 지정합니다.

PROC GLIMMIX DATA=data-table-name;
CLASS variables;
MODEL dependent-variable = fixed-effects / SOLUTION
DIST=probability-distribution LINK=link-function;
RANDOM random-effects / <options>;
ESTIMATE 'label' fixed-effect-values | random-effect-values
/ <options>;
LSMEANS fixed-effects / options;
RUN;

일반화 선형 혼합 모형에서는 조건부 평균 E(y|α)에 링크 함수를 적용합니다.

y의 조건부 분포는 일반화된 고정 효과에서 y의 분포와 동일한 역할을 한다.

선형 모형 일반화된 선형 모형을 고정 효과로 y|y in에 적합시키기 위해 동일한 기본 전략을 적용합니다.

혼합 모형을 조건부 평균 E(y|α)에 적합시키기 위한 모형입니다.

모수 추정치를 얻으려면 한계 로그 우도 함수를 얻어야 합니다. 일반화 선형 혼합 모델(및 비선형 혼합 모델)을 피팅할 때 문제가 발생합니다.

기본적으로 GLIMMIX 절차는 선형화 기술을 사용하여 일반화된 선형 혼합 모델을 다음과 같이 근사합니다.

PROC GLIMMIX에서 일반화 선형 혼합 모델을 피팅하기 위해 두 가지 최대 가능성 방법도 사용할 수 있습니다.