[SAS Programming]TimeSeries02

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 White Noise _ 백색잡음과정

정상적인 확률과정 중에서 가장 중요한 과정이 서로 독립이고 동일한 분포를 (iid)따르는 확률변수들의 계열로 구성된 확률과정으로서, White Noise Process라고 한다. (= 시계열 분석에서의 오차항/잔차라고 한다.)

분석모형이 잘 적합된 경우, 그 잔차는 독립적인 임의의 확률변수(=Independent Random Variable)가 된다. 시계열 분석에서 모형이 잘 적합될 때, 잔차 시계열 자료(Residual Error Series)는 백색잡음이 된다.

 백색잡음은 시간 t에 무관하므로 정상 확률과정이다. 

정상시계열 모형  _ Stationary Time Series Models

시계열과정에서 현재의 상태가 과거의 상태에 의존한다면 현재 관측값을 과거 관측값들의 함수형태로 표현할 수 있다.

*확률과정 z(t)

 를 따르는 백색과정.

시계열자료를 모형과 하는 방법은 선형 및 비선형, 여러 함수 형태가 있다.

그 중에서 선형 방법을 알아보고자 한다.

• AR
• MA

AR process _ Autoregressive Process(자기회귀과정) : 일반적으로 평균이 m인 정상 p차 자기회귀과정을 AR(p)로 표현.

함수 f의 형태로는 선형함수가 많이 쓰임. 

t시점에서의 z값이 과거의  z값에 직접적으로 의존하는 구조로 t시점에서의 z값이 과거 t-p시간동안의 z값의 가중평균과 t기에 발생하는 오차항 (Random Shock)으로 구성된다.

*시계열 자료의 안정성(Stationarity)

시계열의 특징이 시간의 변화에 관계없이 일정한가 아니면 시간의 흐름에 따라 달라지는가의 여부이다.

그 중 안정적(Stationarity) 시계열 자료는 평균, 분산 등 확률적 특징이 변하지 않고 일정하여 일정한 계수를 갖는 모형으로 표현 가능하고 통상적인 회귀모형으로 추정이 가능하다.

이와 반대로, 불안정적(Nonstationary) 시계열 자료는 시계열 자료의 특징이 시간에 따라 변화하여 과거와 미래 관계를 간단한 수식으로 표현하기가 힘들다.

Ex) GDP, 소비, 통화량은 시간의 흐름에 따라 꾸준히 증가하는 패턴으로 불안정 시계열 특징을 나타낸다.

AR모형에서의 안정은  -1<  <1의 조건을 만족해야한다. 만족하지 못하면 불안정적 시계열이다.

만약 =1이면 확률보행(Random Walk)를 따른다.

BackShift operator(후진작용소)로 단순형태로 표현가능

; BackShift

AR(1)과정 : 자기회귀과정에서 중에서 가장 간단한 과정으로 p=1인과정으로 markov과정

data da;
  z1=0.0; y1=0.0; 
  do t=1 to 100;
    a=rannor(1234);
    z=-0.5*z1+a;  
    y=0.5*y1+a;
    output;
    z1=z; y1=y;
  end; run;

proc sgplot;  
  series x=t y=y ; refline 0 / axis=y ; xaxis label="time" ; 
  yaxis label="Z(t)" ; run;

Proc sgplot;  
  series x=t y=z ; refline 0 / axis=y ; xaxis label="time" ; 
  yaxis label="Z(t)"; run;  

[plot]

의 값이 양수인 경우의 시계열 그림이 음수인 경우보다 변화의 정도가 심하지 않다.

AR(2) 과정

*정상성 조건