[SAS 활용 노하우] 직교대비(Orthogonal Contrasts)

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처리효과를 비교연구할 때, 사용할 수 있는 직교대비(Orthogonal contrast)를 설명하고자 합니다.

직교대비는 평균의 특정 선형결합에 대한 가설을 검정하는데 사용됩니다.

이전 게시글에서 다중비교를 설명했지만, 때로는 다른 형태의 비교가 필요합니다.

예를 들어, 앞의 다이어트약 예에서 다음의 가설에 관심을 가진다고 하면,

① 처리 1과 처리3의 평균이 같은가? (즉, H₀ : μ₁ = μ₃)

② 처리 1과 처리 3의 평균은 처리 2의 평균과 같은가? (즉, H₀ : ( μ₁ + μ₃) / 2 = μ₂ )

가설 ①, ②는 각각 다음과 같이 표현할 수 있습니다.

직교대비 방법을 다양한 SAS 코드를 통해 알아보려 합니다.

1) 수준이 3개인 일원배치법에서, 처리 1과 처리 3의 평균이 같은가?

즉, H₀ : μ₁ = μ₃ 의 검정은 다음과 같이 할 수 있습니다.

proc glm;
class treat;
model y = treat;
means 'treatment' treat 1 0 -1;
run;

2) 수준이 3개인 일원배치법에서,

H₀ : μ₁ = μ₃ 와 H₀ : ( μ₁ + μ₃) / 2 = μ₂ 를 동시에 검정하고자 하면 다음과 같이 할 수 있습니다.

proc glm;
class treat;
model y = treat;
means 'treatment' treat 1 -1 0;
                  treat 1 -2 1;		  
run;

3) 수준 수가 3개인 경우의 처리효과에 대한 유의성 여부를 묻는 가설은 H₀ : μ₁ = μ₂ = μ₃ 입니다.

그런데 이것은

와 같으며, 따라서 귀무가설은

 으로 나타낼 수 있습니다. 

따라서, 이 가설로 인한 제곱합은 처리 제곱합과 같습니다.

이전 게시글의 다이어트약 문제를 이용하여 이것을 수행하면 다음과 같습니다.

options nonumber nodate ls=76 ps=80;
data weight;
input treat $ y @@;
datalines;
1 4.6 1 5.8 1 5.6 1 4.9 1 6.6
2 4.3 2 5.8 2 5.1 2 5.5 2 4.5
3 6.4 3 6.6 3 5.9 3 6.0 3 6.1
;
run;

proc glm data = weight;
class treat;
model y = treat;
contrast 'treatment' treat 1 -1 0,
                     treat 1 0 -1;		  
run;

마지막 부분의 대비로 인한 제곱합(Contrast SS = 3.41200000)은 처리제곱합(Model Sum of Squares)와 같음을 알 수 있습니다.

4) 감자를 재배하고 수확하는데 있어 어떤 비료에 포함된 질산칼슘(nitrate)의 농도의 영향에 관해 연구하고자 한다. 첨가되는 질산칼슘의 양을 5가지 다른 농도로 정하였으며 각 농도에서 4번의 관측이 완전 랜덤화 설계로 얻어졌으며, 실험구(plot) 당 수확량(kg)은 다음과 같다.

 

이 문제에서 첨가되는 질산칼슘의 농도에 따라 수확량에 차이가 있는지에 관심을 가지며, 일반적인 분산분석을 하게됩니다. 여기서는 추가로 다음과 같은 분석에 관심을 가지게 됩니다.

(1) 질산칼슘 0%와 5% 농도에서는 평균수확량이 유의한 차이가 나는가?

즉, H₀ : μ₁ = μ₂ 대 H₁ : μ₁ ≠ μ₂

(2) 질산칼슘 10%와 15% 농도에서의 평균수확량은 0%와 5% 농도에서의 평균 수확량과 유의한 차이가 나는가? 즉, H₀ : μ₃ + μ₄ = μ₁ + μ₂ 대 H₁ : μ₃ + μ₄ ≠ μ₁ + μ₂

(3) 질산칼슘 10%와 15% 농도에서는 평균수확량이 유의한 차이가 나는가?

즉, H₀ : μ₃ = μ₄ 대 H₃ : μ₃ ≠ μ₄

(4) 질산칼슘 20%에서의 평균수확량은 낮은 농도 (즉, 0% 5% 10% 15%)에서의 평균 수확량과 유의한 차이가 나는가?

options nonumber nodate ls=76 ps=80;
data yield;
 input conc yield @@;
 datalines;
1 105 1 115 1 91 1 141 
2 135 2 131 2 145 2 175
3 147 3 143 3 153 3 157 
4 148 4 161 4 161 4 164
5 132 5 149 5 155 5 164
;
run;

proc glm;
class conc;
model yield = conc;
contrast 'Contrast 1' conc 1 -1 0 0 0;
contrast 'Contrast 2' conc -1 -1 1 1 0;
contrast 'Contrast 3' conc 0 0 1 -1 0;
contrast 'Contrast 4' conc -1 -1 -1 -1 4;
run;

 

출력을 요약하면 다음과 같습니다.

유의수준 0.05에서 대비 1과 대비 2는 유의하다.