[Mixed Model 2.1.1] Two-Way Mixed Models

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[Mixed Model 2.1.1] Two-Way Mixed Models

안녕하세요^^

이번시간에는 Mixed models의 예제를 살펴보도록 하겠습니다.

특히 Two-way mixed models을 사용하는 예제에 대해 알아보도록 하겠습니다.

▶ 목차

▷ Two-way Mixed model 예제

▷ Mixed Model 정의

▶ Two-way Mixed model 예제

 

이번 예제에서 사용할 데이터는 함께 올려드리는 ‘glass’ 데이터 입니다.

이 데이터는 다섯가지 잔디풀(VARIETY)에 세 종류의 씨앗(METHOD)을 심어 성장을 기록하였습니다.

한 종류의 잔디풀마다 여섯개의 화분(i)에 심어져 있으므로 총 90개의 화분이 준비되어 있습니다.

90개의 화분은 무작위로 위치해 있으며, 씨앗의 성장은 매 4주가 끝날 무렵 측정되었습니다.

15개의 treatment는 씨앗(method)과 잔디풀(variety) 두 가지 요인의 조합입니다.

관심이 다섯가지 잔디풀에 있는 것이 아니기 때문에, 다섯가지 잔디풀은 더 많은 품종의 잔디풀 중 무작위로 선택되었다고 가정합니다.

따라서 다섯가지 잔디풀(variety)는 random effect로 간주됩니다.

관심은 오직 씨앗의 종류에 있기 때문에 씨앗(method)은 fixed effect로 간주됩니다.

씨앗(method)과 잔디풀(variety)의 상호작용(interaction)은 random effect로 간주됩니다.

모델에 random effect와 fixed effect가 모두 포함되기 때문에, mixed model이라고 할 수 있습니다.

잔디풀(variety)가 random effect라는 것은 관심사항인 씨앗(method)에 대한 추론이 모든 잔디풀에서 적용된다는 것을 의미합니다.

▷ 데이터 소개

앞서 설명한 데이터는 위와 같은 모양을 띄고 있습니다.

변수	설명
Method	씨앗 종류
Variety	잔디 종류
i	6개의 화분
yield	성장한 정도

▶ Mixed Model 정의

앞서 소개한 데이터를 이용하여 mixed model에 적용하겠습니다.

Mixed model은 다음과 같이 수식으로 정리할 수 있습니다.

항	설명
	i번째 method와 j번째 variety의 k번째 관측값 (세 종류의 씨앗 i=1,2,3) (다섯 종류의 잔디 j=1, …, 5) (여섯개의 화분 k=1, …, 6)
	알려지지 않은 fixed parameter이며, 전체 평균을 의미합니다.
	i번째 method의 effect
	j번째 variety의 random effect,
	i번째 method와 j번째 variety의 interaction이며 random effect,
	Experimental error,

, , 는 independent random 변수로 가정합니다.

 따라서, Method i의 평균은 전체 varieties에서 가 됩니다.

관측값의 분산은  입니다.

이 때 각각의 요소는 (variety 분산), (method와 variety의 interaction 분산), (random errors)입니다.

[출처]

- ‘Applied Mixed Models for Processors Course Notes’