[SAS 활용 노하우] 조건부이분산(Conditional Heteroskedasticity) 회귀모형 part1
조건부 이분산은 "시간에 따라 변화하는 조건부 분산"이라고 할 수 있습니다.
즉, 오차항의 분산이 변화하지 않고 일정한 분산(Homoskedasticity)가 아니라 시간에 따라 변화하는 조건부 분산(Time-Varying Conditional Variance) 또는 Conditional Heteroskedasticity라고 할 수 있습니다.
조건부이분산 회귀모형
조건부이분산(Conditional Heteroskedasticity) 회귀모형은 오차항 ut가 조건부(conditional) 정규분포(Normal distribution)를 갖으며,
정규분포의 평균은 0이고, 분산(variance) hi 는 시간에 따라 변화하는 Time-Varying이라는 것이 모형의 핵심입니다. ( 공분산_homoskedasticity 가 아닙니다. 즉, 이분산(heteroskedasticity)입니다.)
불필요한 복잡성을 피하기 위해 조건부 이분산을 단순회귀모형의 오차항에 표기하면,
식 (2)는 ( t - 1 )기에 활용가능한 모든 정보 집합 Ω t-1 이 주어졌다는 조건하에,
오차항 ut의 조건부 확률분포(Conditional Probability Distribution)는 정규분포(Normal Distribution)이며 평균은 0이고 분산은 시간에 따라 변화하는 time-varying하는 ht라는 것입니다.
식 (3)에 있는 것과 같이 시간에 따라 변화하는 분산 ht 는 ( t - 1 )기와 ( t - 2 ), ( t - 3 ) , ... 기의 오차항과 계수들 (Parameters), γ0, γ1, γ2, .... , γp 의 함수입니다.
이분산 함수 h( ut-1 , ut-2 , .... γ0, γ1, γ2, .... , γp ) 는 여러 가지 다양한 형태의 식이 있습니다.
그 중에 가장 간단한 식으로 알려진 시계열 모형은 ARCH(1) 모형입니다.
ARCH는 AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity로 식은 아래와 같습니다.
식 (4)의 ARCH(1) 조건부 이분산은 가장 간단한 이분산이며 t기의 조건부 이분산 ht 는 ( t - 1 )기의 오차항 제곱 u t-12 에 의해서만 결정됩니다.
아래 (5) 식은 약간 더 보편화된 ARCH(q) 모형입니다.
식 (5)는 시계열분석 모형의 MA(Moving Average) 모형과 유사합니다.
MA 모형과 유사한 ARCH 모형이 있다면, AR(AutoRegressive) 모형도 포함된 GARCH(p, q) (Generalizaed AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity, q, p) 모형도 가능합니다.
GARCH 모형은 아래의 식 (6)입니다.
식 (6)은 GARCH (p,q) 라고 부릅니다. 실증분석에 가장 많이 이용되고 있는 조건부 이분산 모형은 GARCH(1,1) 으로 AR(1) 모형과 MA(1) 모형을 합친 조건부이분산 모형으로 식 (7) 과 같이 표현할 수 있습니다.
조건부 이분산 검정
조건부이분산의 존재여부를 검정하는 방법으로 자주 사용되는 검정방법은 LM = n R2 검정입니다.
LM 검정은 Lagrange multiplier test로
SAS에서는 PROC AUTOREG 명령어에 MODEL을 표기한 후, 옵션으로 /ARCHTEST; 를 사용하면 식 (8) 을 추정하여 회귀모형의 오차항에 조건부이분산의 존재여부를 검정해줍니다.
위 식 (1)의 회귀모형을 추정한 후 얻은 residual 제곱 (et2)을 사용하여 식 (8)을 추정합니다.
식 (8)의 R2 에 샘플 수 n을 곱해서 LM(Large Multoplier) 검정통계치를 구한 후 카이제곱(chi-square) 확률분포의 임계치(critical value)와 비교하여 귀무가설(null hypothesis) - '조건부이분산이 존재하지 않는다.'를 기각하거나 기각할 수 없다는 결론을 내리게 됩니다.
만약, 귀무가설이 맞다면 식 (8)에 있는 계수들 φ1, φ2, .... , φp가 모두 0이 되어야 합니다.
그러므로 귀무가설이 맞다면 R2 값은 0에 가까워야 되고, nR2 값도 0에 가까워서 귀무가설을 가각할 수 없어야 합니다.
R2값은 비교적 큰 값이 되고 따라서 겈정통계치 값도 검정입계치보다 커서 귀무가설을 기각합니다.
SAS CODE
조건부이분산의 존재 여부를 검정하는 코드는 아래와 같습니다.
샘플데이터는 KOSPI 지수와 재무부 3년 만기채권 이자율을 사용합니다.
1959년 1월부터 2012년 8월까지 644개의 미국자료로
ipg: 산업생산지수
s&p 500: 수익률
fyff: 연방펀드이자율을 활용하여 실증분석을 하였습니다.
data sp500;
infile '/home/u45061472/sp500.prn';
input mon sp;
logsp = log(sp);
spg = dif(logsp)*1200;
if mon < 19590101 then delete;
num = _N_;
run;
data ip;
infile '/home/u45061472/ip.prn';
input mon ip;
logip = log(ip);
ipg = dif(logip)*1200;
if mon > 19590101 then delete;
if mon < 20120801 then delete;
run;
data data fyff;
infile '/home/u45061472/fyff.prn';
input mon fyff;
fyff4 = lag4(fyff);
if mon < 19590101 then delete;
if mon > 20120801 then delete;
run;
data all;
merge sp500 ip fyff;
by mon;
run;
월별 S&P 지수가 2012년 8월까지만 조재하기 깨문에 2012년 8월 이후의 자료를 삭제하였습니다.
proc autoreg data=all;
model spg = fyff / method=ml maxiter=200 archtest;
run;
PROC AUTOREG를 이용하고 최우추정법(MLE)를 사용하여 회귀분석을 진행하였습니다.
S&P 지수로 얻은 주가수익률(SPG) - 종속변수
Fyff (연방펀드 이자율) - 설명변수
ipg를 종속변수로 사용했을 때는 fyff 변수의 4달 전 값인 fyff4를 사용하였지만 현재의 종속변수는 주식수익률 SPG이기 때문에 동기값 fyff를 사용했습니다. 종속변수 SPG가 주식수익률이기 때문에 오차항에 자기상관이 없아야 한다는 이론을 반영하고 옵션으로 ARCHTEST를 사용하였습니다. ARCHTEST 옵션은 회귀모형 오차항에 조건부이분산의 존재를 LM으로 검정하기 위한 옵션입니다.
결과
다음은 ARCHTEST를 수행한 결과입니다.
ARCHTEST는 식 (8) 의 계수들에 대한 귀무가설 φ1 = φ2 = .... = φp = 0 을 LM 검정하는 명령어 입니다.
즉, LM = n R2 을 이용하여 귀무가설을 검정하는 것 입니다.
Tests for Disturbances Based on OLS Residuals 에서 첫번째 칼럼의 Order은 식 (8) 의 q를 의미합니다.
1에서 12까지 사용하여 종속변수 S&P 500 지수의 수익률(SPG) - 종속변수 / 연방정부 이자율 (fyff)를 설명변수로 하는 회귀식 오차항에 "조건부이분산이 존재하지 않는다."라는 귀무가설을 검정한 것 입니다.
order 1부터 12까지 모든 검정확률값 (Pr > LM)이 임계값 0.05 보다 상당히 작아서 어느 order을 선택하는지 상관없이 귀무가설을 모두 기각하고 있습니다.
즉, 주가지수 S&P 500으로 얻은 주가수익률(SPG)를 종속변수로 하고, 연방정부 이자율(fyff)를 설명변수로 하는 회귀모형의 오차항에는 아주 강한 조건부이분산이 존재한다는 의미입니다.
