[Mixed Model 4.1.1] Analysis of Covariance with Random Effects

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[Mixed Model 4.1.1] Analysis of Covariance with Random Effects

안녕하세요^^

이번시간에는 random effect가 있는 공분산분석(analysis of covariance)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

▶ 목차

▷ 공분산분석 정의 및 예제소개

▷ ANCOVA Model 정의

▶ 공분산분석 정의 및 예제소개

▷ 공분산분석 (Analysis of Covariance)

 

공분산분석은 반응변수(response variable)가 연속형 변수이고 설명변수(independent variable)들이 하나 이상의 연속형 변수와 분류변수(classification variable)들을 포함할 때 사용할 수 있는 분석 방법입니다.

공분산분석의 목표는 공변량(covariates)라고 불리는 연속형변수들 간의 변동성을 설명하는 treatment effect를 설명하는 것입니다.

예를들어, 혈압의 변화량(Blood Pressure Change)을 약제(Drug)와 초기혈압(Baseline BP)으로 설명하는 자료를 생각해보겠습니다.

두 종류의 약제(Drug1, Drug2)를 이용하여 혈압을 얼마나 낮추는지를 평가하였습니다.

두 약제 중 하나를 투여한 후 혈압의 변화(BP Change)와 초기혈압(Baseline BP)을 각 대상에 대해 측정하였습니다.

혈압의 변화와 약제의 종류, 초기혈압 간의 관계는 다음과 같은 시나리오 중 하나일 수 있습니다.

- Treatment에 따른 기울기(slope)와 절편(intercepts)이 동일합니다.

- 기울기는 다르지만, 절편은 동일합니다.

- 기울기와 절편 모두 다릅니다.

- 절편은 다르지만, 기울기는 동일합니다.

​- 절편은 다르지만, 모든 기울기가 0입니다.

▷ 예제 (Wafer Example)

Wafer4 데이터는 반도체산업에서 얻은 자료입니다.

이 실험은 웨이퍼(wafer) 제작 시 폴리실리콘(polysilicon) 층의 퇴적되는 속도와 온도(temperature)의 영향을 연구하기 위해 고안되었습니다.

퇴적과정 전의 웨이퍼의 두께(thickness)가 퇴적 속도에 영향을 미칠 수 있다고 생각되었습니다.

각각의 웨이퍼 두께의 평균이 결정되어 공변량 ‘thick’으로 사용되었습니다.

24개의 무작위 샘플을 모아 실험에 사용했으며,

웨이퍼는 3가지 온도(900, 1000, 1100) 중 하나에 무작위로 지정되었습니다. (temp)

결과적으로 각 온도 수준에 8개의 웨이퍼가 할당되었습니다.

각 웨이퍼로부터 무작위로 선택된 3개의 위치(‘site’)에서 퇴적된 물질의 양을 측정하였습니다.

앞서 설명한 데이터는 위와 같은 모양을 보이고 있습니다.

변수	설명
Temp	온도 (900, 1000, 1100)
Wafer	무작위로 선택되고 3개의 온도 중 하나에 할당된 웨이퍼
Site	퇴적된 물질의 양의 측정이 수행된 웨이퍼의 위치(1,2,3)
Deposit	각 위치에서 측정된 물질의 양
Thick	퇴적과정 전의 각 웨이퍼의 평균 두께

▶ ANCOVA Model 정의

앞서 소개한 데이터를 이용하여 ANCOVA model에 적용하겠습니다.

ANCOVA model은 다음과 같이 수식으로 정리할 수 있습니다.

항	설명
	i번째 온도에 할당된 j번째 웨이퍼의 k번째 사이트에서 측정한 퇴적 속도
	3개의 온도에 대한 절편
	절편의 i번째 온도효과에 대한 회귀계수
	3개의 온도에 대한 기울기
	기울기의 i번째 온도효과에 대한 회귀계수
	i번째 온도에 할당된 j번째 웨이퍼에서 측정된 공변량(두께)
	웨이퍼의 효과, 이 random effect는 온도에 내제된 웨이퍼에 의해 식별됩니다.
	위치 효과,  이 항은 무작위 오류(random error)에 해당합니다.

다음시간에는 소개한 데이터를 이용하여 분석을 시행하도록 하겠습니다.

감사합니다.

[출처]

- ‘Applied Mixed Models for Processors Course Notes’