[Mixed Model 4.1.1] Analysis of Covariance with Random Effects
안녕하세요^^
이번시간에는 random effect가 있는 공분산분석(analysis of covariance)에 대해 알아보도록 하겠습니다.
▶ 목차
▷ 공분산분석 정의 및 예제소개
▷ ANCOVA Model 정의
▶ 공분산분석 정의 및 예제소개
▷ 공분산분석 (Analysis of Covariance)
공분산분석은 반응변수(response variable)가 연속형 변수이고 설명변수(independent variable)들이 하나 이상의 연속형 변수와 분류변수(classification variable)들을 포함할 때 사용할 수 있는 분석 방법입니다.
공분산분석의 목표는 공변량(covariates)라고 불리는 연속형변수들 간의 변동성을 설명하는 treatment effect를 설명하는 것입니다.
예를들어, 혈압의 변화량(Blood Pressure Change)을 약제(Drug)와 초기혈압(Baseline BP)으로 설명하는 자료를 생각해보겠습니다.
두 종류의 약제(Drug1, Drug2)를 이용하여 혈압을 얼마나 낮추는지를 평가하였습니다.
두 약제 중 하나를 투여한 후 혈압의 변화(BP Change)와 초기혈압(Baseline BP)을 각 대상에 대해 측정하였습니다.
혈압의 변화와 약제의 종류, 초기혈압 간의 관계는 다음과 같은 시나리오 중 하나일 수 있습니다.
- Treatment에 따른 기울기(slope)와 절편(intercepts)이 동일합니다.
- 기울기는 다르지만, 절편은 동일합니다.
- 기울기와 절편 모두 다릅니다.
- 절편은 다르지만, 기울기는 동일합니다.
- 절편은 다르지만, 모든 기울기가 0입니다.
▷ 예제 (Wafer Example)
Wafer4 데이터는 반도체산업에서 얻은 자료입니다.
이 실험은 웨이퍼(wafer) 제작 시 폴리실리콘(polysilicon) 층의 퇴적되는 속도와 온도(temperature)의 영향을 연구하기 위해 고안되었습니다.
퇴적과정 전의 웨이퍼의 두께(thickness)가 퇴적 속도에 영향을 미칠 수 있다고 생각되었습니다.
각각의 웨이퍼 두께의 평균이 결정되어 공변량 ‘thick’으로 사용되었습니다.
24개의 무작위 샘플을 모아 실험에 사용했으며,
웨이퍼는 3가지 온도(900, 1000, 1100) 중 하나에 무작위로 지정되었습니다. (temp)
결과적으로 각 온도 수준에 8개의 웨이퍼가 할당되었습니다.
각 웨이퍼로부터 무작위로 선택된 3개의 위치(‘site’)에서 퇴적된 물질의 양을 측정하였습니다.
앞서 설명한 데이터는 위와 같은 모양을 보이고 있습니다.
변수 | 설명 |
Temp | 온도 (900, 1000, 1100) |
Wafer | 무작위로 선택되고 3개의 온도 중 하나에 할당된 웨이퍼 |
Site | 퇴적된 물질의 양의 측정이 수행된 웨이퍼의 위치(1,2,3) |
Deposit | 각 위치에서 측정된 물질의 양 |
Thick | 퇴적과정 전의 각 웨이퍼의 평균 두께 |
▶ ANCOVA Model 정의
앞서 소개한 데이터를 이용하여 ANCOVA model에 적용하겠습니다.
ANCOVA model은 다음과 같이 수식으로 정리할 수 있습니다.
항 | 설명 |
i번째 온도에 할당된 j번째 웨이퍼의 k번째 사이트에서 측정한 퇴적 속도 | |
3개의 온도에 대한 절편 | |
절편의 i번째 온도효과에 대한 회귀계수 | |
3개의 온도에 대한 기울기 | |
기울기의 i번째 온도효과에 대한 회귀계수 | |
i번째 온도에 할당된 j번째 웨이퍼에서 측정된 공변량(두께) | |
웨이퍼의 효과, |
|
위치 효과, |
다음시간에는 소개한 데이터를 이용하여 분석을 시행하도록 하겠습니다.
감사합니다.
[출처]
- ‘Applied Mixed Models for Processors Course Notes’
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