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[Mixed Model 4.1.1] Analysis of Covariance with Random Effects

Started ‎06-18-2020 by
Modified ‎06-18-2020 by
Views 386

[Mixed Model 4.1.1] Analysis of Covariance with Random Effects

 

 

안녕하세요^^

이번시간에는 random effect가 있는 공분산분석(analysis of covariance)에 대해 알아보도록 하겠습니다.

 

 

 

▶ 목차

 

 

▷ 공분산분석 정의 및 예제소개

▷ ANCOVA Model 정의

 

 

 

 

▶ 공분산분석 정의 및 예제소개

 

▷ 공분산분석 (Analysis of Covariance)

 

 다운로드 - 2020-06-18T142003.284.png

 

공분산분석은 반응변수(response variable)가 연속형 변수이고 설명변수(independent variable)들이 하나 이상의 연속형 변수와 분류변수(classification variable)들을 포함할 때 사용할 수 있는 분석 방법입니다.

 

공분산분석의 목표는 공변량(covariates)라고 불리는 연속형변수들 간의 변동성을 설명하는 treatment effect를 설명하는 것입니다.

 

예를들어, 혈압의 변화량(Blood Pressure Change)을 약제(Drug)와 초기혈압(Baseline BP)으로 설명하는 자료를 생각해보겠습니다.

 

 

두 종류의 약제(Drug1, Drug2)를 이용하여 혈압을 얼마나 낮추는지를 평가하였습니다.

두 약제 중 하나를 투여한 후 혈압의 변화(BP Change)와 초기혈압(Baseline BP)을 각 대상에 대해 측정하였습니다.

혈압의 변화와 약제의 종류, 초기혈압 간의 관계는 다음과 같은 시나리오 중 하나일 수 있습니다.

 

다운로드 - 2020-06-18T142004.603.png

 

- Treatment에 따른 기울기(slope)와 절편(intercepts)이 동일합니다.

- 기울기는 다르지만, 절편은 동일합니다.

- 기울기와 절편 모두 다릅니다.

- 절편은 다르지만, 기울기는 동일합니다.

​- 절편은 다르지만, 모든 기울기가 0입니다.

 

▷ 예제 (Wafer Example)

 

다운로드 - 2020-06-18T142005.572.png

 

Wafer4 데이터는 반도체산업에서 얻은 자료입니다.

 

이 실험은 웨이퍼(wafer) 제작 시 폴리실리콘(polysilicon) 층의 퇴적되는 속도와 온도(temperature)의 영향을 연구하기 위해 고안되었습니다.

퇴적과정 전의 웨이퍼의 두께(thickness)가 퇴적 속도에 영향을 미칠 수 있다고 생각되었습니다.

각각의 웨이퍼 두께의 평균이 결정되어 공변량 ‘thick’으로 사용되었습니다.

 

24개의 무작위 샘플을 모아 실험에 사용했으며,

웨이퍼는 3가지 온도(900, 1000, 1100) 중 하나에 무작위로 지정되었습니다. (temp)

결과적으로 각 온도 수준에 8개의 웨이퍼가 할당되었습니다.

각 웨이퍼로부터 무작위로 선택된 3개의 위치(‘site’)에서 퇴적된 물질의 양을 측정하였습니다.

 

다운로드 - 2020-06-18T142006.747.png

 

앞서 설명한 데이터는 위와 같은 모양을 보이고 있습니다.

 

변수 설명
Temp 온도 (900, 1000, 1100)
Wafer 무작위로 선택되고 3개의 온도 중 하나에 할당된 웨이퍼
Site 퇴적된 물질의 양의 측정이 수행된 웨이퍼의 위치(1,2,3)
Deposit 각 위치에서 측정된 물질의 양
Thick 퇴적과정 전의 각 웨이퍼의 평균 두께

 

 

 

▶ ANCOVA Model 정의

 

앞서 소개한 데이터를 이용하여 ANCOVA model에 적용하겠습니다.

ANCOVA model은 다음과 같이 수식으로 정리할 수 있습니다.

  

다운로드 - 2020-06-18T142008.243.png

 

 

 

 

 

설명
다운로드 - 2020-06-18T142009.634.png i번째 온도에 할당된 j번째 웨이퍼의 k번째 사이트에서 측정한 퇴적 속도
다운로드 - 2020-06-18T142010.626.png 3개의 온도에 대한 절편
다운로드 - 2020-06-18T142011.643.png 절편의 i번째 온도효과에 대한 회귀계수
다운로드 - 2020-06-18T142012.731.png 3개의 온도에 대한 기울기
다운로드 - 2020-06-18T142014.147.png 기울기의 i번째 온도효과에 대한 회귀계수
다운로드 - 2020-06-18T142015.171.png i번째 온도에 할당된 j번째 웨이퍼에서 측정된 공변량(두께)
다운로드 - 2020-06-18T142016.483.png 웨이퍼의 효과, 다운로드 - 2020-06-18T142017.475.png이 random effect는 온도에 내제된 웨이퍼에 의해 식별됩니다.
다운로드 - 2020-06-18T142018.946.png 위치 효과다운로드 - 2020-06-18T142020.154.png 이 항은 무작위 오류(random error)에 해당합니다.

 

 

다음시간에는 소개한 데이터를 이용하여 분석을 시행하도록 하겠습니다.

감사합니다.

 

 

 

[출처]

- ‘Applied Mixed Models for Processors Course Notes’

  

 

 

 

 

 

 

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Last update:
‎06-18-2020 02:33 AM
Updated by:
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